É uma das descobertas matemáticas mais misteriosas, dessas que parecem magia. É muito útil, e ninguém sabe bem por que funciona.
A história começou em 1881, quando o astrônomo e matemático canadense-americano Simon Newcomb (1835 – 1909) notou que a sua tabela de logaritmos estava muito mais manuseada nas primeiras páginas do que nas últimas.
Antes da invenção de calculadoras práticas, a tabela de logaritmo era uma ferramenta fundamental para realizar cálculos complexos, em qualquer domínio da ciência e da engenharia. A observação de Newcomb significava, por exemplo, que ele lidara com muito mais dados astronômicos com dígito inicial (o da esquerda) 1 do que com dígito inicial 9.
Mais incrível ainda, todas as tabelas de logaritmos do observatório tinham o mesmo aspecto: os dados astronômicos “preferem” começar com dígitos pequenos do que grandes! Newcomb propôs a tabela 1 (ver abaixo) para a frequência do primeiro dígito.
Embora ele tenha proposto uma explicação, essa observação deve ter parecido uma bizarrice e foi esquecida. Até 1937, quando foi redescoberta pelo físico norte-americano Frank Benford (1883 “” 1948), que acabou dando o nome à lei.
Mas isso não é de todo injusto, pois Benford foi além, apontando que esse comportamento surge em quase todos os dados com que nos deparamos: distâncias aéreas, pesos de moléculas, taxas de mortalidade, número de passes numa partida de futebol, preços de apartamentos, produto interno bruto de países, constantes matemáticas, tiragens de jornais etc –todos seguem a tabela acima!
Claro que tive que ver para crer. Baixei do site do IBGE as populações dos municípios brasileiros, fiz as contas da frequência do primeiro dígito e não deu outra (ver tabela 2).
Legal, dirá a querida leitora, mas isto para que serve? O ponto é que é difícil “fabricar” dados que obedeçam à lei de Benford. Por isso, essa lei pode ser usada para diferenciar dados verdadeiros de dados incorretos ou fraudulentos. Será o tema da próxima semana.